Le théorème de Thalès
1 - En classe de seconde, dans les anciens programmes.
Vers les années 2000, sont arrivées en classe de seconde les notions de cas d'isométries et de cas de similitude (ils ont disparu depuis ...). Venaient aussi homothétie et calcul vectoriel.
Les élèves avaient donc de nombreux outils pour étudier les "situations de Thalès" par exemple. Malgré tout c'était trop souvent l'énoncé du théorème de Thalès (direct ou réciproque) tel qu'ils l'avaient vu au collège qui revenait en force.
Ils avaient en fait de nombreux outils pour une même situation. Même si on leur demandait de changer de registre pour donner une explication (donc de passer par les homothéties ou les cas de similitudes) à cause de ce long temps passé en compagnie du théorème et de sa réciproque, il était difficile de passer à autre chose, ces énoncés revenaient en force.
Et il y avait deux difficultés :
trop souvent, on pouvait trouver ce type de conclusion au théorème direct (type de conclusion qui n'apparaît plus si on réalise qu'en fait il s'agit de triangles semblables) : \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BC}\)
l'énoncé de la "réciproque du théorème de Thalès" avait été vécu comme quelque chose de difficile à retenir et à rédiger : ah, le fameux "du même côté" à ne pas oublier si on ne veut pas perdre de points !
2 - En collège avec la réforme de 2016
Comme cela a été souligné plus haut, les nouveaux outils du programme 2016 permettent de proposer une approche plus simple et plus rapide de certains points du programme de géométrie.
On peut très bien imaginer que les notions d'homothétie et de figures semblables aient été abordées en cinquième-quatrième, mais uniquement sous l'angle de l'agrandissement- réduction de figures pour travailler sur la proportionnalité et les échelles ; puis que dès le début de la troisième soient introduits les trois cas de similitude.
Alors les énoncés du théorème de Thalès et de sa réciproque deviennent extrêmement simples puisqu'ils ne sont plus que des cas particuliers des cas de similitude !
Fondamental : Énoncé du théorème de Thalès (théorème direct).
Si dans un triangle ABC on mène une parallèle à (BC) qui coupe les deux autres côtés (ou leur prolongement) en B' et C', les triangles ABC et AB'C' sont semblables.
(cliquer pour agrandir la figure)
Démonstration :
Quel que soit le cas de figure, il suffit de dire que les triangles ABC et AB'C' ont :
l'angle \(\widehat{A}\) égal (soit parce que c'est le même, soit parce qu'ils sont opposés par le sommet)
les angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{B'}\) égaux, comme angles correspondants ou alterne-interne.
Par conséquent leurs côtés sont deux à deux proportionnels.
Fondamental : Réciproque du théorème de Thalès
Et si on se contentait de dire que la situation ci-contre fait penser tout simplement au deuxième cas de similitude (un angle égal compris entre deux côtés deux à deux proportionnels) dans les cas particuliers suivants :
les deux angles \(\widehat{A}\) sont égaux parce que ... confondus !
les deux angles \(\widehat{A}\) sont égaux parce qu'opposés par le sommet.
(cliquer sur la figure pour l'agrandir)
La conséquence immédiate deviendrait :
tous les angles sont égaux deux à deux (donc les droites (BC) et (B'C') sont parallèles)
les trois côtés sont deux à deux proportionnels.
Conseil : En guise de conclusion
Les "nouveaux outils" du collège permettent, si on le désire, d'énoncer beaucoup plus simplement le théorème de Thalès et surtout sa réciproque puisqu'il suffit d'invoquer comme énoncé de substitution un cas de similitude. Alors, pourquoi pas ?