Les cas de similitude
A - Quand dit-on que deux figures sont semblables ?
Définition :
Une figure est semblable à une autre lorsqu'elle s'en déduit par une suite de transformations : translations, rotations, homothéties, éventuellement symétries axiales. Une telle suite de transformations s'appelle une similitude.
Remarque :
Si le nombre de symétries axiales est pair (ou s'il n'y en a aucune), la similitude est dite directe.
Si le nombre de symétries axiales est impair, la similitude est dite indirecte.
Fondamental :
Bien souvent, retrouver les transformations en question n'est pas simple. Pour deux triangles les "cas de similitude" permettent d'affirmer que ces transformations existent sans qu'il soit nécessaire de les exhiber.
Conséquences pour les triangles en question : tous leurs angles sont égaux deux à deux et les côtés correspondants sont proportionnels deux à deux.
Remarque :
Lorsque le coefficient de proportionnalité est supérieur à 1 on parle d'agrandissement, et s'il est inférieur à 1 on parle de réduction.
En guise d'introduction :
Cependant, dans une figure de géométrie dynamique, l'opération inverse (partir de la figure finale pour revenir à la figure initiale par transformations successives) est parfois possible.
Comme dans les deux figures ci dessous : figures qu'il est possible de montrer aux élèves pour introduire les cas de similitude en question ; et qui fait le lien avec la transformation par homothétie.
La même figure en plein écran dans un autre onglet.
Conseil :
Dans quel ordre faire les manipulations ?
translater le triangle vert par glisser-déposer afin de faire coïncider E et A,
utiliser F pour lui faire subir une rotation
La même figure en plein écran dans un autre onglet.
Conseil :
Dans quel ordre faire les manipulations ?
translater le triangle rose par glisser-déposer afin de faire coïncider D et A,
lui faire subir une rotation en utilisant le point E.
B - Énoncé des trois cas de similitude.
Fondamental : 1er cas.
Lorsque deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, ils sont semblables.
(Ce cas a été illustré dans le paragraphe précédent)
Fondamental : 2nd cas.
Lorsque deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels deux à deux, ils sont semblables.
(Ce cas a été illustré dans le paragraphe précédent)
Fondamental : 3ème cas .
Lorsque deux triangles ont leurs trois côtés proportionnels deux à deux, ils sont semblables.
C - Cas particulier des triangles rectangles
Dans le cas de deux triangles rectangles il y a un cas de similitude supplémentaire.
Fondamental :
Pour que deux triangles rectangles soient semblables, il suffit qu'ils aient deux côtés proportionnels deux à deux.
(en particulier l'hypoténuse et un côté de l'angle droit ; le cas "deux côtés de l'angle droit" est déjà traité dans le cas des triangles quelconques)