Les cas d'isométrie
A - Introduction
Définition : Figures isométriques
Deux figures sont isométriques lorsqu'on passe de l'une à l'autre par une suite de transformations : translation, rotation, éventuellement symétrie axiale (une telle suite de transformations s'appelle d’ailleurs une isométrie).
Rappel : toute isométrie conserve l’alignement, les distances, les angles et les aires !
Fondamental :
Bien souvent, retrouver les transformations en question n'est pas simple. Pour les triangles les "cas d'isométrie" permettent d'affirmer que ces transformations existent sans qu'il soit nécessaire de les exhiber.
Conséquences pour les triangles en question : tous leurs angles sont égaux deux à deux et les côtés correspondants sont égaux deux à deux.
Remarque : s'il on a utilisé un nombre impair de symétries axiales les figures sont indirectement isométriques (les angles sont "inversés"). Sinon elles sont directement isométriques.
Méthode : Une piste pour introduire les cas d'isométries avec des élèves de collège.
Un triangle ABC a six mesures : les angles A, B et C ; et les côtés a, b et c (respectivement opposés à A, B et C)
On ( ?) donne des séries de 3 mesures (à toute la classe, à certains ?) afin de construire le triangle correspondant.
Ce qui doit en résulter :
Si les 3 mesures sont celles des côtés, la construction n'est possible que si "le plus grand des côtés est inférieur à la somme des deux autres". Et quand elle est possible, la réponse est unique : les triangles sont superposables (à une symétrie axiale près).
Si ce sont 2 côtés plus 1 angle, ou 2 angles plus 1 côté, il faut que ce soit le côté entre deux angles ou l'angle entre deux côtés. La réponse est unique (à une symétrie axiale près). Sinon il y a plusieurs solutions.
Si ce sont 3 angles ....
B - Énoncé des cas d'isométrie pour les triangles quelconques.
Fondamental :
Pour que deux triangles soient isométriques il suffit qu'ils aient :
Remarque :
On a représenté ci-dessus uniquement des triangles directement isométriques, pour ne pas multiplier les figures. On n'oubliera pas cependant les triangles indirectement isométriques ...
Attention :
Le "compris entre" (ou adjacent) est fondamental. Si cela n'a pas été fait, on peut inviter les élèves à bâtir des exemples où il y a bien égalité d'angles et de côtés sans le "compris entre" avec pour résultat deux figures qui ne sont pas superposables (même après retournement).
C - Cas d'isométrie des triangles rectangles.
Quand les triangles sont rectangles, on dispose de deux cas d'isométrie supplémentaires.
Fondamental :
Si deux triangles rectangles ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, ils sont isométriques.
Fondamental :
Si deux triangles rectangles ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal, ils sont isométriques.
